La cryptographie en voie de décryptage ? La confirmation du théorème de Riemann reste à confirmer…

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Publié le 1 octobre 2004
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Suite à la découverte récente d’un mathématicien relative au théorème de Riemann, un certain nombre d’informations ont circulé sur Internet prédisant la fin du e-commerce établi sur la cryptographie telle que nous la connaissons aujourd’hui (Tim Radford, « Maths holy grail could bring disaster for internet« , guardian.co.uk, 7 septembre 2004). Qu’en est-il exactement ? On sait que la…

Suite à la découverte récente d’un mathématicien relative au théorème de Riemann, un certain nombre d’informations ont circulé sur Internet prédisant la fin du e-commerce établi sur la cryptographie telle que nous la connaissons aujourd’hui (Tim Radford, « Maths holy grail could bring disaster for internet« , guardian.co.uk, 7 septembre 2004). Qu’en est-il exactement ?

 

On sait que la cryptographie est utilisée pour assurer la sécurité des échanges numériques. Elle préserve la confidentialité des données, leur intégrité ou encore répond aux besoins d’identification. Elle vise ainsi la sécurité des transactions bancaires sur Internet ou le secret des communications, par email et par téléphone.

 

Pour résumer, la cryptographie est fondée sur un système de clés devant rester secrètes et qui permettent ainsi le chiffrement et le déchiffrement des données. Tout au long de l’histoire et jusqu’au milieu des années 70, époque du développement des ordinateurs grand public, la cryptographie était basée sur un système de clés symétriques, où une même clé était utilisée pour le chiffrement et le déchiffrement. Le point faible de ce système résidait dans la vulnérabilité que représentait l’échange des clés. D’où la découverte, dans les années 70, d’un nouveau système basé sur des clés asymétriques. Dans ce système, on utilise désormais deux clés liées entre elles : la clé publique du destinataire, ouverte à tous, qui sert à chiffrer les données, et la clé privée de ce dernier, qui lui permet le déchiffrement et qui doit à ce titre rester cachée. Cela résolvait ainsi le problème de l’échange des clés secrètes qui n’était plus nécessaire. Cette cryptographie, dite à clé publique, largement utilisée de nos jours, est basée sur la factorisation des nombres premiers (pour plus d’information, voir Simon Singh, Histoire des codes secrets, Le Livre de Poche, Ed. J-C Lattes).

 

Les cryptographes ont en effet pressenti qu’il leur fallait se baser sur une fonction à sens unique pour rendre virtuellement impossible l’inversion de la fonction afin de sauvegarder la clé privée. Et c’est la théorie des nombres premiers qui a été retenue. Cela se traduit ainsi : p x q = N. Dans cette fonction, le produit de deux nombres premiers aléatoires, p et q (qui forment la clé privée) donne N (la clé publique). Plus p et q sont grands et plus il sera difficile, voire impossible, de les déduire de N, et ce, même si N est rendu public. En bref, tout le monde a accès à N, le cadenas, alors que seul le destinataire connaît p et q, la clé du cadenas.

 

Or, avec la confirmation en avril dernier du théorème de Riemann, qui date de 1859, la factorisation des nombres premiers, base de la cryptographie, serait réversible ! Il en serait fini de la sécurité des échanges basés sur la théorie actuelle des nombres premiers. Riemann aurait, en effet, établi qu’il existe des connexions entre des séries apparemment aléatoires de nombres premiers (Keith Regan, « Mathematical Solution Might Undermine Data Encryption« , ecommercetimes.com, 9 septembre 2004.)

 

C’est un mathématicien septuagénaire d’origine française, Louis de Branges, établi aux Etats-Unis depuis la 2ème Guerre Mondiale, qui a déclaré avoir vérifié l’hypothèse de Riemann. Cette dernière fait partie des 7 plus grands problèmes de mathématiques non résolus, appelés « Les 7 problèmes du Millénaire » et pour lesquels un million de dollars sera attribué à la personne qui pourra résoudre l’un d’eux (A. W. Moore, « The Seven Million Dollar Question« , lrb.co.uk, 22 juillet 2004). Une période d’attente de deux ans est cependant prévue afin que puisse en être examiné le bien-fondé.

 

La nouvelle de cette confirmation a été accueillie avec le plus grand scepticisme, sinon avec méfiance. La première raison en est que Louis de Branges ne bénéficie pas d’une aura de confiance parmi ses pairs pour avoir publié par le passé des découvertes qui se seraient révélées fausses. La deuxième raison est que sa confirmation du théorème de Riemann est constituée de 121 pages très complexes à comprendre, et ce, même pour un mathématicien averti (Karl Sabbagh, « The Strange Case of Louis de Branges« , lrb.co.uk, 22 juillet 2004).

 

Avant donc que cette confirmation soit elle-même vérifiée, la cryptographie basée sur la factorisation a de beaux jours devant elle. Mais il faut garder à l’esprit que les cryptographes doivent préserver leur avance sur les cryptanalystes.

 

Sandrine Rouja

Rédactrice en chef de Juriscom.net